贝塞尔曲线(Bézier Curve)被广泛应用于计算机图形学中,用于为平滑曲线建立模型。它以法国工程师 Pierre Bézier (雷诺汽车公司) 和 Paul de Casteljau (雪铁龙汽车公司) 命名,两人在 1960 年代独立开发了这一曲线表示方法。

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数学定义

贝塞尔曲线由给定控制点 P0、P1、…、Pn 的向量函数 B(t) 追踪,参数 t 的取值范围为 [0, 1]。通用的 n 阶贝塞尔曲线公式为:

$$\mathbf{B}(t) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} t^{i} (1-t)^{n-i} \mathbf{P}_i \quad , \quad t \in [0, 1]$$

常用阶数

一阶(线性)贝塞尔曲线

两个控制点 P0、P1,就是两点之间的一条直线:

$$\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0 + (\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)t=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \mbox{ , } t \in [0,1]$$

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private float getLinearBezier(float t, float p0, float p1) {
    return (1 - t) * p0 + t * p1;
}

二阶(二次)贝塞尔曲线

三个控制点 P0、P1、P2:

$$\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2 \mbox{ , } t \in [0,1]$$

三阶(三次)贝塞尔曲线

四个控制点 P0、P1、P2、P3,也是实际应用中最常见的:

$$\mathbf{B}(t) = (1 - t)^3\mathbf{P}_0 + 3t(1 - t)^2\mathbf{P}_1 + 3t^2(1 - t)\mathbf{P}_2 + t^3\mathbf{P}_3 \quad , \quad t \in [0, 1]$$

关键性质

  • 端点插值:曲线始终经过第一个和最后一个控制点: B(0) = P0, B(1) = Pn
  • 切线性质:曲线在起点处与 P0->P1 相切,在终点处与 Pn-1->Pn 相切
  • 凸包性质:整个曲线位于其控制点的凸包(Convex Hull)之内
  • 仿射不变性:对控制点做仿射变换(平移、旋转、缩放)后再生成曲线,等价于对曲线本身做相同变换
  • 细分性:一条贝塞尔曲线可以被分割为两条同阶的贝塞尔曲线(de Casteljau 算法)

在 Android 中的应用

在 Android 中,贝塞尔曲线常用于:

  • 自定义插值器:通过贝塞尔曲线定义动画的变化速率
  • 路径动画:使用 Path 类的 quadTo()(二次)和 cubicTo()(三次)方法创建曲线路径
  • 手势轨迹:通过 GestureOverlayView 或自定义 View 绘制触摸轨迹
  • 矢量图形:在 VectorDrawable 中定义曲线形状
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// Android Path 中使用三次贝塞尔曲线
Path path = new Path();
path.moveTo(startX, startY);
path.cubicTo(control1X, control1Y, control2X, control2Y, endX, endY);

// 使用二次贝塞尔曲线
path.quadTo(controlX, controlY, endX, endY);

参考